Prima pagină Stiinta

Arta infinitului: istorie, matematica, imposibil

Alexandru Safta | 06.14.2010 | ● Vizualizări: 6474
Arta infinitului: istorie, matematica, imposibil     infinit, teoria infinitului, despre infinit, ce este infinitul, galileo galilei, aristotel, matematica, filosofie + zoom
Galerie foto (11)

Trasaturile nefiresti si paradoxale ale ideii de infinit au supus unor grele incercari mintile sclipitoare ale celor mai mari ganditori ai timpurilor. Adevaratele mistere matematice si, in general, ale lumii, se afla la frontiera gandirii noastre. Depasind-o, putem trece dincolo de ceea ce stim ca este posibil si putem incepe sa exploram miracolele universului la extrem. Inca din vremea grecilor antici, invatatii si-au pus problema infinitului, dar primul om care a intrezarit cu adevarat amanunte valabile despre notiunea reprezentata printr-un “opt” dispus pe orizontala a fost remarcabilul vizionar Galielo Galilei.

Infinitul este. Posibil

Infinitul a fost intotdeauna tratat cu un amestec de fascinatiesi smerenie. Unii l-au asociat ideii de divinitate, in timpce altii il privesc ca pe un concept fara valoare practica in lumeareala. Acestia din urma isi argumenteaza pozitia afirmandca pana si matematica, aparent dependenta de infinit, poate fifacuta recurgand la cantitati inepuizabile, dar finite. Vechiigreci erau oarecum incomodati de concept, dat fiind termenul pecare i l-au atribuit, "apeiron", o notiune cu aceleasi conotatiinegative pe care civilizatia modenra le intelege prin cuvantul"haos". "Apeiron"-ul era lipsit de control, salbatic sipericulos.

Aristotel (384-322 i.Hr.), unul dintre cei mai mari filosofiai omenirii, discipolul lui Platon si invatatorul lui Alexandru celMare

Ca atare, Aristotel a "pus la punct" atat de ferm infinitulincat cu greu a mai fost luat in considerare de cineva pana insecolul al XVII-lea. Abordarea lui s-a dovedit extrem depragmatica. Aristotel a decis ca infinitul trebuie saexiste, doarece timpul pare sa nu aiba inceput, nicisfarsit. De asemenea, nu era posibil ca cineva sa pretindaca o numaratoare ar fi putut fi terminata vreodata. Daca ar fiexistat un anume cel mai mare numar - "maximum", ce era in neregulacu a spune "maximum + 1" sau "maximum + n"? Pe de alta parte,infinitul nu putea exista in lumea reala. Daca arfi exista, spre exemplu, un corp fizic infinit, spune Aristotel,acesta ar fi fara frontiere - totusi, prin definitie, pentru a ficorp un obiect trebuie sa aiba margini.

Premisa, inteligenta de altfel, a lui Aristotel era, deci, aceeaca infinitul exista si in acelasi timp nu exista.In loc sa fie o proprietate adevarata a ceva real, argumenta el,infinitul exista doar ca posibilitate. El poate exista inprincipiu, dar nu s-a intamplat niciodata practic. Iar un exemplufoarte plastic dat de marele filosof suna cam asa: "Daca un omdintr-o alta parte a lumii ar veni acum si ne-ar cere sa ii aratamJocurile Olimpice de care suntem atat de mandri, nu am putea sa ofacem. In acest moment, ele nu exista in realitate, dar exista caposibilitate. La fel, si infinitul se afla intr-o stare deeventualitate". Toata lumea s-a declarat multumita de aceasta"demonstratie" timp de aproape 2.000 de ani din acel moment, panacand a intrat in scena Galileo Galilei.

Roata imperfecta a lui Galileo

Dupa arestul la domiciliu, din 1634, al lui Galielo, ca urmare aprocesului care i s-a intentat pentru eretica sa teorieheliocentrica, omul de stiinta numai inactiv nu a devenit. In aceaperioada a scris cartea considerata a fi lucrarea decapatai a activitatii sale stiintifice, denumita "Discursuri sidemonstratii matematice privind doua Stiinte noi",echivalenta ca valoare cu "Principia" lui Newton. Cartea a fostscrisa sub forma unei conversatii intre un numar de personaje,abordand in special chestiuni importante din punct de vederestiintific. In insiruirea narativa, dupa ce au dezbatut sipolemizat despre ce anume tine materia unita, personajele au oabatere, aparent mai mult de amorul artei, despre naturainfinitului.Galileo a adus in aceasta privinta o serieinedita de abordari, dar doua dintre ele merita notate in special.Prima implica miscarea unei perechi de roti.

Galileo incepe cu roti imperfecte, cu cateva laturi, ca deexemplu de forma unor hexagoane. Rotile sunt tridimensionale - sani le imaginam ca si cum ar fi facute din marmura. Hezagonul maimic este fixat in cel mare, si fiecare se misca pe propria sa rutaorizontala. Rotim agregatul intr-o parte astfel incat sa se mistepe urmatoarea latura. Miscandu-se, roata mare pivoteaza pe unul dincolturi si avanseaza pe traseu cu lungimea unei laturi. Dar ce s-aintamplat cu roata mai mica?

Nu doar roata mare s-a miscat pe acea distanta, ci si roatamica; trebuie sa fie asa, deoarece sunt fixate impreuna. Adicaambele roti trebuie sa fi parcurs fix aceeasi distanta intrepozitia lor anterioara si cea de acum. Aterizand pe propria laturaurmatoare, roata mica a executat 1/6 dintr-o rotatie completa sipare sa se fi deplasat pe traseul propriu cat lungimea laturiisale; dar lucrurile nu s-au intamplat asa, pentru ca ea a fostmiscata pe distanta laturii rotii mari. Asadar, pentru a executamiscarea in surplus si a respecta legile fizicii, roata mica a fostcomplet ridicata de la traseu si asezata pe latura sa urmatoare.Totul pentru ca, distanta intre pozitia sa initiala si cea actualatrebuie sa fie egala cu dimensiunea laturii rotii mari.

Aici intervine artificiul istet. Galileo si-a imaginat un numarsporit de laturi. Cu cat mai multe laturi, cu atat mai multe seturide mici miscari pe traseu si mici salturi ale rotii inferioare depe ruta proprie pe masura ce se invarte. In final, sa ne imaginamca ducem numarul de laturi la infinit. Sfarsim prin a avea roticirculare.

Infinitul meu e mai mare decat infinitul tau

Invartim din nou cele doua roti, conectate, pe respectiveletrasee. Inca o data, ambele parcurg aceeasi distanta, sa spunem, unsfert din circumferinta rotii mari. Sau asa ar trebui, pentru caacum, ceva straniu s-a intamplat. Marginea rotii mari s-a rotit cuun sfert din circumferinta ei pe traseul propriu. Marginea rotiimai mici s-a invartit doar cat un sfert din propria sacircumferinta, mai mica. Totusi ea trebuie sa se fi deplasat peaceeasi distanta ca roata mare, insa fara a mai parasi ruta. Nuexista salturi, sau cel putin asa pare.

Ceea ce si-a imaginat Galileo ca se intampla in acest caz esteca pe masura ce roata mai mica se invarte, un numar infinit de micihop-uri infinitezimale se intampla pentru a acoperi diferentadintre circumferinta rotii mici si distanta pe care se deplaseaza.Infinitul a intrat in scena printr-un dispozitiv fizic capabil safaca sa se intample ceva aparent imposibil. Concluziile trase depersonajele lui Galileo, Simplicio si Salviati, au fost caexista un numar infinit de puncte pe o roata circulara siun numar infinit de puncte pe cealalta. Dar cumva, desifiecare are o infinitate de puncte, una a parcurs o distanta maimare decat cealalta. O infinitate era astfel la fel ca cealalta siin acelasi timp mai mare.

Suna confuz, pentru ca este o problema sa gestionaminfinitul cu mintile noastre finite, dupa cum Salviatirecunoaste in carte. Al doilea model propus de el este cel alpatratului; nu forma geometrica, ci patratul unui numar, adicaorice numar inmultit cu el insusi. Asadar, isi imagineaza numereleintregi, inmultinu-l pe fiecare cu sine. Pentru absolut orice numarintreg exista un patrat. Avem un numar infinit de numere intregisi, deci, un numar infinit de patrate cu o corespondenta de unu launu. Dar iata prinsoarea. Exista o multime de numere care nureprezinta patratul perfect pentru nimic. Asadar, desiexista un patrat pentru absolut orice numar intreg - un set infinit- exista chiar mai multe numere individuale decat patrateperfecte. Din nou, infinituri diferite. Galileo adescoperit ceva foarte special despre infinit. Regulile normale alearitmeticii nu i se aplica. Pot exista, efectiv, infinituri "maimici" si infinituri "mai mari", unul substituit celuilalt, careeste de aceleasi dimensiuni cu el, infinit. Adevaratele implicatiiale cugetarilor lui Galileo au avut nevoie de peste 300 de anipentru a iesi la lumina, dar chiar si asa, el a sadit samanta a totceea ce avea sa urmeze in legatura cu infinitul.

Fibbonacci si proportia de aur

O pictura, o sculpltura, o lucrare arhitecturala sunt toateorganizate prin masuri si rapoarte gratios echilibrate. Infinitulinsusi, in matematica, se afla ascuns, tocmai in aceasta arta aproportiilor. Care dreptunghi are cel mai placut raport intrelungime si latime, spre exemplu? Oricine poate face un experimentin aceasta directie si poate incerca, singur, sau acompaniat, saaleaga raportul pe care il gaseste cel mai potrivit. Este raportuldintre latime si lungime apropiat de 2x3, 3x5, 5x8 - dimensiunilestandard ale carnetelelor si ale fotografiilor? Sau apropiat de oalta pereche de numere adiacente din secventa:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...? Leonardo don Pisa, poreclitFibonacci, a fost un matematician italian de la inceputul secoluluial XIII-lea, care a aratat felul in care se formeaza aceastaeleganta secventa de numere, conectata cu intelegerea noastra fatade ce anume inseamna proportii multumitoare. Secretulformarii celebrului sir de numere este formarea fiecarui numar prininsumarea celor doua precedente.

Dar ce legatura exista intre aceasta insiruire si proprotiipotrivite? Marele Piero della Francesca a scris o carte "DespreProportia Divina", iar in picturile lui a incadrat partile siintregul in chenare cu ratiile lui Fibonacci. Leonardo da Vinci aobservat ca crengile copacilor, escaladand spiralat trunchiul, sedistanteaza intre ele intocmai conform acelorasi proprotii.Virtual, toti artistii lucreaza pe baza acestor principii, fie caisi dau sau nu seama. Conurile de brad si cochiliile de melci,coarnele cerbilor, liniile trasate printre sirurile de seminte aleflorii soarelui - iar si iar aceste ratii Fibonacii apar in natura.Dar numai in matematica, arta infinitului, aceste ratii sunttrecute din vizibil in extrema invizibila (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5,13/8 etc) spre definirea unei anumite valori, denumita Calea sauRatia de Aur (aproximativ 1,618), care descrie proportia ideala pecare proportiile finite din arta si natura doar o aproximeaza.

A n-a dimensiune?

Dar este acesta idealul divin sau diabolic? Pentagrama,steaua cu cinci colturi, semnul Artelor Negre si capcana pentruMefistofel, este realizata din segmente care respecta intocmaiaceasta ratie de aur. Oare stau ingerii luminii sau cei aiintunericului in spatele matematicianului aflat in cautareainfinitului? Arta si matematica sunt ambele dependente deechilibru, iar echilibrul matematicii este stocat inecuatii.Ecuatiile sunt Cubismul matematicii. Sa luam ca exemplucele cinci solide platonice: tetraedrul, cubul, octoedrul,dodecaedrul si icosaedrul), pe care Kepler le-a vazut caemblematice pentru Univers. Le putem gasi peste tot in natura si inarta, sunt ceea ce unii denumesc "caramizile spatiului". Cat suntde diferite una de cealalta, totusi, o singura ecuatie le aduce laun numitor comun. Ajunge sa numaram colturile oricarei forme si sanotam rezultatul cu C. Adaugam numarul laturilor si numimrezultatul L, precum si numarul fatetelor, F. Ce aflam? Pentrutetraedru: C=4, L=6, F=4. Pentru cub: C=8, L=12, F=6. Putinelucruri in comun. Si totusi, vom constata, iar acest lucru seaplica si in cazul celor 3 poliedre ramase precum si al tuturor depeste ele, ca in fiecare caz C-L+F=2. Este o forma de infinit, unacare se afla in spatele tuturor artelor noastre, chiar si amuzicii, ale carei armonii sunt expresia auditiva aproportionalitatii.

Cubul despre care tocmai am vorbit are 8 colturi, 12 laturi si 6fatete. Ce putem spune insa despre cuburile in patru dimensiuni? Ceputem spune despre patru dimensiuni pur si simplu? Uimitor, dardestule. Nu putem privi un cub cvadridimensional dar ne putem gandila el, spun cercetatorii. Are 16 colturi, 32 de laturi si 24 defete. Sa continuam? Un cub in sapte dimensiuni are 672 de fete.Unul decadimensional are 5.120 de laturi. Si se poate continua,deoarece adevarata natura a matematicii este le limita gandiriinoastre. De aceea, infinitul nu ar trebui privit ca o enigmamatematica ce trebuie dezlegata, ci ca o cheie a vietii insasi, pecare, intelegand-o, ne vom elibera de toate constrangerile mintilornoastre limitate si vom putea avea si intelege Universul. Pentru cainfinitul nu este doar in spatiul cosmic ale carui frontiere nu lepercepem, ci chiar si in ultimul fir de nisip de sub talpilenoastre.

Descopera lumea incare traiesti!